On the maximal Galton-Watson forest tree with infinite variance of the offspring

Abstract

Рассматриваются леса Гальтона - Ватсона, образованные начинающимся с $N$ частиц критическим ветвящимся процессом, общее число потомков которых за все время эволюции равно $n$. Число прямых потомков каждой частицы имеет распределение \begin{equation*}p_k=\frac{h(k+1)}{(k+1)^\tau}, \qquad k=0,1,2, …, \quad \tau\in (2,3),\end{equation*} где $h(k)$ - медленно меняющаяся на бесконечности функция. Найдено предельное распределение максимального объема дерева, если $N,n\rightarrow \infty$ и существует $\alpha >0$ такое,что $n/N^{\tau-1+\alpha} \rightarrow \infty.$