Пространства Соболева $W^{1}_{p}$ на $d$-толстых замкнутых подмножествах $\mathbb{R}^{n}$

Abstract

Пусть $S \subset \mathbb{R}^{n}$ - замкнутое непустое множество такое, что для некоторых $d \in [0,n]$ и $\varepsilon>0$ $d$-вместимость по Хаусдорфу $\mathscr{H}^{d}_{\infty}(S \cap Q(x,r)) \geq \varepsilon r^{d}$ для всех кубов $Q(x,r)$ с центрами в $x \in S$ и длинами ребер $2r \in (0,2]$. Для каждого $p>\max\{1,n-d\}$ мы даем внутреннюю характеризацию пространства следов $W_{p}^{1}(\mathbb{R}^{n})|_{S}$ на множестве $S$ пространства Соболева $W_{p}^{1}(\mathbb{R}^{n})$. Более того, мы доказываем существование ограниченного линейного оператора продолжения $\operatorname{Ext}\colon W_{p}^{1}(\mathbb{R}^{n})|_{S} \to W_{p}^{1}(\mathbb{R}^{n})$, являющегося правым обратным для стандартного оператора следа. Тем самым мы обобщаем соответственно те результаты, которые были получены ранее в случае $p \in (1,n]$ для регулярных по Альфорсу множеств $S$. Библиография: 36 названий.