Some Porosity-Type Properties of Sets Related to the $d$-Hausdorff Content

Abstract

Пусть $S\subset \mathbb R^n$ - непустое множество. При $d\in [0,n)$ для куба $\overline {Q}\subset \mathbb R^n$ c длиной ребра $l=l(\overline {Q})\in (0,1]$ показано, что если для $d$-обхвата по Хаусдорфу $\mathcal H^d_{\infty }(\overline {Q}\cap S)$ множества $\overline {Q}\cap S$ верно неравенство $\mathcal H^d_{\infty }(\overline {Q}\cap S)<\overline {\lambda }l^{d}$ при некотором $\overline {\lambda }\in (0,1)$, то множество $\overline {Q}\setminus S$ содержит специфическую полость. Более точно, доказано существование псевдометрики $\rho =\rho _{S,d}$ такой, что для любого достаточно малого $\delta >0$ окрестность $U^\rho _\delta (S)$ множества $S$ в псевдометрике $\rho $ не покрывает $\overline {Q}$. Более того, установлено существование констант $\overline {\delta }=\overline {\delta }(n,d,\overline {\lambda })>0$ и $\underline {\gamma }=\underline {\gamma }(n,d,\overline {\lambda })>0$ таких, что $\mathcal L^n(\overline {Q}\setminus U^{\rho }_{\delta l}(S)) \geq \underline {\gamma } l^n$ при всех $\delta \in (0,\overline {\delta })$, где $\mathcal L^n$ - мера Лебега. При условии, что множество $S$ дополнительно удовлетворяет условию $d$-регулярности обхвата снизу, доказано существование константы $\underline {\tau }=\underline {\tau }(n,d,\overline {\lambda })>0$ такой, что куб $\overline {Q}$ является $\underline {\tau }$-пористым. Точность результатов иллюстрируется несколькими примерами.