Теоремы о следах и продолжении для однородных пространств Соболева и Бесова на неограниченных равномерных областях в метрических пространствах с мерой

Abstract

Для фиксированного числа $p$, $1\le p<\infty $, рассматривается неограниченное локально компактное неполное метрическое пространство с мерой $(\Omega ,d,\mu )$, в котором мера $\mu $ удовлетворяет условию удвоения и выполнено $p$-неравенство Пуанкаре, а $\Omega $ является равномерной областью в своем пополнении $\overline \Omega $. Показано, что следы функций из пространства Дирихле-Соболева $D^{1,p}(\Omega )$ на границе $\partial \Omega $ реализуются как функции из однородного пространства Бесова $HB^\alpha _{p,p}(\partial \Omega )$ для подходящего $\alpha $; здесь $\partial \Omega $ снабжена неатомической борелевской регулярной мерой $\nu $. Показано также, что если $\nu $ удовлетворяет $\theta $-коразмерностному условию относительно $\mu $ для некоторого $0<\theta <p$, то существуют ограниченный линейный оператор следа $T:D^{1,p}(\Omega )\to HB^{1-\theta /p}(\partial \Omega )$ и ограниченный линейный оператор продолжения $E:H B^{1-\theta /p}(\partial \Omega )\to D^{1,p}(\Omega )$, который является правым обратным для $T$.