Spectra of Self-Similar Ergodic Actions

Abstract

В заметке рассматриваются самоподобные конструкции преобразований, сохраняющих сигма-конечную меру, изучаются их свойства и спектры индуцированных гауссовских и пуассоновских динамических систем. Ортогональный оператор, отвечающий такому преобразованию, обладает следующим свойством: некоторая его степень является нетривиальной прямой суммой операторов, изоморфных исходному. Получены следующие результаты. Для любого подмножества $M$ натурального ряда в классе пуассоновских надстроек реализованы наборы спектральных кратностей вида $M\cup\{\infty\}$. Предъявлен гауссовский поток $S_t$ такой, что автоморфизмы $S_{p^{n}}$ обладают набором спектральных кратностей $\{1,\infty\}$, если $n\leqslant 0$, и наборами кратностей $\{p^n,\infty\}$ при $n> 0$. Получен гауссовский поток $T_t$ такой, что автоморфизмы $T_{p^{n}}$ обладают различными спектральными типами при $n\leqslant 0$, но все автоморфизмы $T_{p^{n}}$, $n>0$, попарно изоморфны между собой. Библиография: 12 названий.