Интегралы и характеристические алгебры систем дискретных уравнений на прямоугольном графе

Abstract

Исследуется система дискретных уравнений на прямоугольном графе. Вводится понятие набора независимых интегралов минимальных порядков по характеристическим направлениям, а также понятие характеристической алгебры Ли-Райнхарта системы уравнений на графе. Доказано, что система допускает полный набор интегралов по рассматриваемому направлению тогда и только тогда, когда соответствующая этому направлению характеристическая алгебра имеет конечную размерность. Иначе говоря, система является интегрируемой по Дарбу тогда и только тогда, когда ее характеристические алгебры по обоим направлениям конечномерны. В качестве примеров интегрируемых по Дарбу систем дискретных уравнений на прямоугольном графе рассмотрены редукции уравнения Хироты-Мивы, $Y$-системы и решеточного уравнения Кадомцева-Петвиашвили. Для них построены характеристические алгебры.