Топологическая классификация биллиардов в трехмерном евклидовом пространстве, ограниченных софокусными квадриками

Abstract

Рассматриваются биллиарды на связных компактных столах в $\mathbb{R}^3$, ограниченных конечным числом софокусных квадрик и имеющих двугранные углы, равные ${\pi}/{2}$. Биллиарды в таких областях являются интегрируемыми, имея три первых интеграла, инволютивных внутри области. Введено два отношения эквивалентности: комбинаторная эквивалентность столов-областей, определяемая устройством их границы, и слабая эквивалентность соответствующих биллиардных систем на них. Выполнена классификация биллиардных столов в $\mathbb{R}^3$ относительно комбинаторной эквивалентности, получено 35 классов попарно неэквивалентных столов. Для каждого из полученных классов столов определен класс гомеоморфности неособого изоэнергетического 5-многообразия: либо $S^5$, либо $S^1\times S^4$, либо $S^2\times S^3$. Получено 24 класса попарно неэквивалентных (относительно слабой эквивалентности) слоений Лиувилля биллиардов на указанных столах в ограничении на неособый уровень энергии. Также определены атомы-бифуркации трехмерных торов, соответствующие дугам бифуркационной диаграммы. Библиография: 59 названий.