Billiards and intergrable systems

Abstract

Обзор посвящен классу интегрируемых гамильтоновых систем и классу интегрируемых биллиардов, а также недавним результатам авторов и их учеников по задаче сравнения этих классов с точки зрения послойной гомеоморфности их слоений Лиувилля. Ключевым инструментом здесь оказались введенные В. В. Ведюшкиной биллиарды на кусочно-плоских CW-комплексах - топологические биллиарды и биллиардные книжки. Приведено построение класса эволюционных (силовых) биллиардов, введенных недавно А. Т. Фоменко и позволяющих моделировать систему сразу в нескольких неособых зонах энергии при помощи одного биллиарда, а также его применение для геодезических потоков на двумерных поверхностях и систем механики. Обсуждаются другие интегрируемые обобщения классического биллиарда, включая биллиарды с потенциалами, биллиарды в магнитном поле, биллиарды с проскальзыванием. Биллиардные книжки с потенциалом Гука, склеенные из плоских софокусных или круговых столов, моделируют четырехмерные полулокальные особенности слоений интегрируемых систем, содержащие невырожденные положения равновесия. Рассмотрение пересечения нескольких софокусных квадрик в $\mathbb{R}^n$ приводит к обобщению теоремы Якоби-Шаля. Библиография: 144 названия.