О характеризации вероятностей больших уклонений для регенерирующих последовательностей

Abstract

Рассматриваются локальные теоремы для аддитивных функционалов от последовательностей, обладающих свойством регенерации - последовательностей случайных векторов $\{S_n\}_{n\ge 0}$ специального вида. Изучаются два случая регенерации: собственная и обрывающаяся. В предположении, что циклы регенерации удовлетворяют условию Крамера, в случае собственной регенерации в ряде работ А.А. Боровкова, А.А. Могульского и Е.И. Прокопенко, а также в работе А.В. Шкляева и Г.А. Бакая получены точные асимптотики вероятностей больших уклонений $\mathbf P(S_n=x) \sim {D(x/n)}n^{-d/2}\exp (-L(x/n)n)$, $n\to \infty $, равномерные по $x/n=x(n)/n\in \mathbb R^d$, лежащим в некотором компакте, с некоторыми функциями $D$ и $L$. В случае обрывающейся регенерации аналогичные результаты получены в работе Бакая, причем в этом случае выделена еще одна зона уклонений, в которой результат имеет вид $\mathbf P(S_n=x)\sim {D_0(x/n)}{n^{-(d-1)/2}}\exp (-L_0(x/n)n)$, $n\to \infty $, с некоторыми функциями $D_0$ и $L_0$. Соотношение выполнено равномерно по $x/n=x(n)/n\in \mathbb R^d$, лежащим в некотором компакте. В данной работе найден альтернативный способ вычисления функций, фигурирующих в асимптотиках, а также получены эквивалентные условия для данных теорем.