Большие уклонения для обрывающегося обобщенного процесса восстановления

Abstract

Пусть случайные векторы $(\xi(i),\eta(i))\in\mathbf{R}^{d+1}$, $i\in\mathbf{N}$, являются независимыми и одинаково распределенными, $\xi(i)\in \mathbf{R}^d$ - случайные векторы, $\eta(i)$ - несобственные неотрицательные случайные величины, $\mathbf{P}(\eta(i) = +\infty)\in(0,1)$. Предполагается, что распределение вектора $(\xi(1),\eta(1))$ при условии $\{\eta(1)<+\infty\}$ удовлетворяет условию Крамера. Обрывающимся обобщенным процессом восстановления называем процесс $Z_T=\sum_{k=1}^{N_T}\xi(k)$, где $N_T=\max\{k\in\mathbf{N}\colon \eta(1)+…+\eta(k)\le T\}$ - процесс восстановления, построенный по несобственным случайным величинам $\eta(i)$. В работе найдены точные асимптотики вероятностей $$ \mathbf{P}(Z_T\in I_{\Delta_T}(x)) \quadи\quad \mathbf{P}(Z_T = x) $$ в нерешетчатом и сильно арифметическом случаях соответственно; здесь $I_{\Delta_T}(x)=\{y\in\mathbf{R}^d\colon x_j\le y_j < x_j+\Delta_T, j=1,…,d\}$ и $\Delta_T$ - достаточно медленно стремящаяся к нулю положительная функция.