Пространства Соболева и краевые задачи для операторов ротор и градиент дивергенции

Abstract

В ограниченной области $G\subset \mathbb{R}^3$ с гладкой границей изучаются краевые и спектральные задачи для операторов $\operatorname{rot} +\lambda I$ и $\nabla \operatorname{div} +\lambda I$ в пространствах Соболева. При $\lambda\neq 0$ операторы расширяются (методом Б. Вайнберга и В. Грушина) до эллиптических матриц, а краевые задачи удовлетворяют условиям эллиптичности В. Солонникова. Из теории и оценок вытекают полезные свойства решений спектральных задач. Операторы $\nabla \operatorname{div}$ и $ \operatorname{rot}$ имеют самосопряженные расширения $\mathcal{N}_d$ и $\mathcal{S}$ в ортогональные подпространства $\mathcal{A}_{\gamma }$ и $V^0$ потенциальных и вихревых полей в $\mathbf{L}_{2}(G)$, а их собственные векторы задают ортогональные базисы в $\mathcal{A}_{\gamma }$ и $V^0$, элементы которых представляются рядами Фурье, а операторы - преобразованиями рядов. Определены аналоги пространств Соболева $\mathbf{A}^{2k}_{\gamma }$ и $\mathbf{W}^m$ порядков $2k$ и $m$ в классах потенциальных и вихревых полей и классы $ C(2k,m)$ их прямых сумм. Доказано, что при $\lambda\neq \operatorname{Sp}(\operatorname{rot})$ оператор $ \operatorname{rot}+\lambda I$ отображает класс $C(2k,m+1)$ на класс $C(2k,m)$ взаимно однозначно и непрерывно, а при $\lambda\neq \operatorname{Sp}(\nabla \operatorname{div})$ оператор $\nabla \operatorname{div}+\lambda I$ отображает $C(2(k+1), m)$ на $C(2k,m)$ соответственно.