Сеть пространств Соболева и краевые задачи для операторов вихрь и градиент дивергенции
-
Published:2023
Issue:1
Volume:27
Page:23-49
-
ISSN:1991-8615
-
Container-title:Вестник Самарского государственного технического университета. Серия «Физико-математические науки»
-
language:ru
-
Short-container-title:Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki
Author:
Сакс Ромэн Семенович1,
Saks Romen Semenovich2
Affiliation:
1. Институт математики с вычислительным центром Уфимского научного центра РАН,
г. Уфа, 450077, Россия
2. Institute of Mathematics with Computing Centre, Ufa Science Centre, Russian Academy of Sciences, Ufa, 450077, Russian Federation
Abstract
В работе рассматривается шкала пространств Соболева $ \mathbf{H}^{m}(G)$ векторных полей в ограниченной области $ G$ из $\mathbb{R}^3$ с гладкой границей $\Gamma$.
Операторы градиент дивергенции и ротор ротора ($\nabla {div}$ и $ {rot}^2$) и их степени являются аналогами скалярного оператора $\Delta^m$ в $\mathbb{R}^3$ и порождают пространства $ \mathbf{A}^{2k}(G)$ и $\mathbf{W}^m(G)$ потенциальных и вихревых полей, где числа $k$, $m>0$ - целые.
Доказано, что $ \mathbf{A}^{2k}(G)$ и $\mathbf{W}^m(G)$ являются проекциями пространств Соболева $ \mathbf{H}^{2k}(G) $ и $ \mathbf{H}^{m}(G)$ на подпространства $\mathcal{A}$ и $\mathcal{B}$ в $\mathbf{L}_{2}(G)$. Их прямые суммы $ \mathbf{A}^{2k}(G) \oplus \mathbf{W}^m(G)$ образуют сеть пространств, элементами которой являются классы $ \mathbf{C}(2k, m)\equiv \mathbf{A}^{2k}\oplus \mathbf{W}^m$.
Рассмотрены пространства $\mathbf{A}^{-m}$ и $\mathbf{W}^{-m}$, которые соответствуют пространствам
$\mathbf{A}^{m}$ и $\mathbf{W}^{m}$.
Также рассмотрены прямые суммы $ \mathbf{A}^{k}(G) \oplus \mathbf{W}^m(G)$ для любых целых чисел $k$ и $m$.
В пространстве $\mathbf{L}_{2}(G)$ строится ортонормированный базис, состоящий из базисов ортогональных подпространств $\mathcal{A}$ и $\mathcal{B}$. Его элементы - собственные поля операторов $ {rot}$ и $\nabla {div}$. Доказательство их гладкости - важный этап разработанной теории.
В сети $ \{\mathbf{C}(k, m)\}$ исследованы модельные краевые задачи для операторов ${rot}+\lambda I$, $\nabla {div}+\lambda I$, их суммы, а также для оператора Стокса.
Получены условия разрешимости для рассматриваемых модельных задач.
Publisher
Samara State Technical University
Subject
Applied Mathematics,Mechanics of Materials,Condensed Matter Physics,Mathematical Physics,Modeling and Simulation,Software,Analysis
Reference51 articles.
1. Пространства Соболева;Солонников В. А., Уральцева Н. Н.,1981