Dénombrabilité des classes d’équivalences dérivées de variétés algébriques

Abstract

Soient S S un schéma affine, X ⟶ S X \longrightarrow S une famille miniverselle de schémas projectifs et lisses, et D D une catégorie triangulée fixée. On démontre que les points s ∈ S s\in S tels que la catégorie dérivée de la fibre en s s , D c o h b ( X s ) D_{coh}^{b}(X_{s}) , soit équivalente à D D , forment un ensemble au plus dénombrable. Nous déduisons de cela que l’ensemble des classes d’isomorphisme des variétés complexes lisses et projectives qui possèdent une catégorie dérivée fixée est au plus dénombrable. Notre démonstration passe par la construction d’un certain préchamp classifiant les dg-catégories saturées et connexes, ainsi qu’une application des périodes allant du champ des variétés lisses et projectives vers ce préchamp, et qui à une variété associe un dg-modèle pour sa catégorie dérivée.