Полная симметрическая система Тоды: решение системы с помощью метода QR-разложения

Abstract

Полная симметрическая система Тоды представляет собой обобщение открытой цепочки Тоды, для которого оператор Лакса является симметричной матрицей общего вида. Эта система является интегрируемой по Лиувиллю и даже суперинтегрируемой системой. Дейфтом, Ли, Нандо и Томеи (DLNT) был предложен метод «отсечения» для построения интегралов такой системы (chopping method). В нашей работе мы строим решение гамильтоновых уравнений для всего семейства интегралов DLNT при помощи обобщенного метода QR-разложения. Для этого мы вводим некоторые тензорные операции на пространстве операторов Лакса и специальные дифференциальные операторы на алгебре Ли. Оба используемых инструмента могут быть интерпретированы в терминах теории представлений алгебры Ли $\mathfrak{sl}_n$ и, как мы ожидаем, могут быть обобщены на произвольные вещественные полупростые алгебры Ли. Как известно, полная система Тоды может быть переформулирована в терминах компактной группы Ли и пространства флагов. Мы надеемся, что полученные результаты о траекториях данной системы будут полезны при исследовании геометрии пространств флагов.