Высшие произведения Уайтхеда для момент-угол-комплексов и подстановки симплициальных комплексов

Abstract

Изучается вопрос реализуемости итерированных высших произведений Уайтхеда с данной формой вложенных скобок симплициальными комплексами на основе конструкции момент-угол-комплекса $\mathcal Z_\mathcal K$. По определению симплициальный комплекс $\mathcal K$ реализует итерированное высшее произведение Уайтхеда $w$, если $w$ является нетривиальным элементом в гомотопической группе $\pi _*(\mathcal Z_\mathcal K)$. Комбинаторный подход к вопросу реализуемости использует операцию подстановки симплициальных комплексов: для любого итерированного высшего произведения $w$ описан симплициальный комплекс $\partial \Delta _w$, реализующий $w$. Более того, для специального вида вложенных скобок внутри $w$ доказано, что $\partial \Delta _w$ является наименьшим симплициальным комплексом, реализующим $w$. Также получен комбинаторный критерий нетривиальности произведения $w$. При доказательстве нетривиальности использованы представитель образа $w$ при гомоморфизме Гуревича в клеточных цепях момент-угол-комплекса $\mathcal Z_\mathcal K$ и описание умножения в когомологиях момент-угол-комплекса $\mathcal Z_\mathcal K$. Также использован алгебраический подход на основе коалгебраической версии комплексов Кошуля и Тейлор коалгебры граней симплициального комплекса $\mathcal K$ для описания канонических циклов, соответствующих итерированным высшим произведениям $w$. Тем самым получен другой критерий реализуемости произведения $w$.