Простые тайлы и аттракторы

Abstract

Исследуются самоподобные аттракторы в пространстве $\mathbb{R}^d$, т.е. самоподобные компактные множества, заданные несколькими аффинными операторами с одинаковыми линейными частями. Частный случай аттрактора, когда матрица $M$ линейной части и векторы сдвигов аффинных операторов являются целочисленными, хорошо известен в литературе в связи с многочисленными приложениями в теории всплесков и теории приближений. В этом случае, если аттрактор имеет единичную меру, он называется тайлом. В статье решается задача классификации самоподобных аттракторов и тайлов в случае, когда они являются либо многогранниками, либо объединением конечного числа многогранников. Получено полное описание матриц $M$ и множеств цифр в случае тайлов-параллелепипедов и в случае выпуклых тайлов любой размерности. Доказано, что на двумерной плоскости все многоугольные тайлы (не обязательно выпуклые) исчерпываются параллелограммами. Приведены нетривиальные примеры многомерных тайлов, являющихся объединением конечного числа многогранников, и в случае $d=1$ получена их полная классификация. Указаны приложения к ортонормированным системам Хаара в $\mathbb{R}^d$ и к целочисленным тайлам на прямой. Библиография: 18 названий.