Каноническая геометризация ориентируемых трехмерных многообразий, определяемых векторными раскрасками трехмерных многогранников

Abstract

Гипотеза У. П. Тeрстона о геометризации (окончательно доказанная Г. Я. Перельманом) заключается в том, что любое ориентируемое трехмерное многообразие может быть канонически разрезано на части, каждая из которых имеет геометрическую структуру, моделируемую на одной из восьми геометрий: $S^3$, $\mathbb R^3$, $\mathbb H^3$, $S^2\times\mathbb R$, $\mathbb H^2\times \mathbb R$, универсальное накрытие для $\mathrm{SL}(2,\mathbb {R})$, $\mathrm{Nil}$ и $\mathrm{Sol}$. В фундаментальной работе 1991 г. М. Дэвис и Т. Янушкевич ввели широкий класс $n$-мерных многообразий - так называемые малые накрытия простых $n$-мерных многогранников. Мы даем полный ответ на следующий вопрос: построить в явном виде каноническое разложение любого ориентируемого трехмерного многообразия, определяемого векторной раскраской трехмерного простого многогранника, в частности малого накрытия. Доказательство основано на анализе результатов в этом направлении, полученных ранее различными авторами. Библиография: 44 названия.