Теоремы вложения, связанные с жесткостью кручения и основной частотой

Abstract

Исследуются критерии конечных постоянных $C$ в серии интегральных неравенств, обобщающих неравенство Пуанкаре-Фридрихса и вариационное определение жесткости кручения области по Сен-Венану. Изопериметрическое неравенство Рэлея-Фабера-Крана и неравенство Сен-Венана-Пойа гарантируют существование конечных постоянных $C$ для областей конечного объема. Критерии существования конечной постоянной $C$ для неограниченных областей бесконечного объема известны лишь для плоских односвязных и пространственных выпуклых областей. Доказаны несколько обобщений и усилений известных результатов и получено их распространение на случай $1<p<2$. Приведем формулировку одного из результатов. Пусть $1\leq p <2$ и пусть область $\Omega=\Omega^0\setminus K$, где $K\subset \Omega^0$ - компакт, а $\Omega^0$ является либо плоской областью с равномерно совершенной границей, либо пространственной областью, удовлетворяющей условию внешней сферы. При этих предположениях конечная постоянная $\Lambda_{p-1}(\Omega)$ существует тогда и только тогда, когда конечен интеграл $\int_\Omega\rho^{{2p}/{(2-p)}}(x,\Omega) dx$, где $\rho(x,\Omega)$ - расстояние от точки до границы области $\Omega$. Библиография: 37 наименований.