Экстремальные проблемы в геометрической теории функций

Abstract

Обзорная статья посвящена ряду достижений в области экстремальных проблем геометрической теории функций. В основе методов и подходов к решению рассматриваемых проблем лежат конформные изоморфизмы, а также теория однолистных функций, развивавшаяся с начала XX в. Приведены результаты по интегральным средним конформных отображений круга, в частности, дано распространение неравенства Е. П. Долженко для рациональных функций на случай произвольных областей со спрямляемыми границами. Описаны исследования в области неравенств типа Бора. Особо выделены интегральные неравенства типа Харди и Реллиха, в которых аналитические свойства неравенств тесно переплетаются с геометрическими характеристиками границ областей. Представлены результаты, касающиеся решения задачи Вуоринена о поведении конформных модулей при неограниченном растяжении плоскости. Получены формулы для вариации емкостей Робена. Охарактеризованы однопараметрические семейства рациональных и эллиптических функций, критические значения которых изменяются по заданному закону. Описаны также последние результаты по гипотезе Смейла, а также дуальной гипотезе Смейла. Библиография: 149 названий.