Оценки Соломяка для оператора Бирмана-Швингера

Abstract

Рассматриваются оценки Цвикеля для оператора $(1-\Delta_{\mathbb{T}^d})^{-d/4}M_f(1-\Delta_{\mathbb{T}^d})^{-d/4}$ на торе $\mathbb{T}^d$ для идеала $\mathcal{L}_{1,\infty}$ в случае, когда $f$ принадлежит пространству Орлича $L\log L(\mathbb{T}^d)$. Эти оценки получены М. З. Соломяком в 1995 г. для четных размерностей; мы распространяем их на случай нечетных размерностей. Показывается, что этот результат не продолжается на случай лапласианов на $\mathbb{R}^d$ не только для пространств Орлича на $\mathbb{R}^d$, но также для любых симметричных функциональных пространств на $\mathbb{R}^d$. Несмотря на это мы получаем новый положительный результат для симметризованных в стиле Соломяка оценок для лапласианов на $\mathbb{R}^d$, когда $d$ - произвольное натуральное число и функция $f$ берется из $L\log L(\mathbb{R}^d)$. Этот последний результат показывает конформную инвариантность оценок Соломяка. Библиография: 44 названия.