Элементы гиперболической теории на бесконечномерном торе

Abstract

На бесконечномерном торе $\mathbb{T}^{\infty}=E/2\pi\mathbb{Z}^{\infty}$, где $E$ - бесконечномерное вещественное банахово пространство, $\mathbb{Z}^{\infty}$ - абстрактная целочисленная ре-\linebreakшетка, рассматривается специальный класс диффеоморфизмов $\operatorname{Diff}(\mathbb{T}^{\infty})$. Упомянутый класс состоит из отображений $G\colon\mathbb{T}^{\infty}\to\mathbb{T}^{\infty}$, для которых дифференциалы $DG$ и $D(G^{-1})$ равномерно ограничены и равномерно непрерывны на $\mathbb{T}^{\infty}$. Для диффеоморфизмов из $\operatorname{Diff}(\mathbb{T}^{\infty})$ дается систематическое изложение элементов гиперболической теории, начиная с основных определений и ряда вспомогательных утверждений и заканчивая более продвинутыми результатами. К последним относятся критерий гиперболичности, теорема о $C^1$-грубости свойства гиперболичности для диффеоморфизмов из класса $\operatorname{Diff}(\mathbb{T}^{\infty})$, теорема Адамара-Перрона, а также один из базовых результатов гиперболической теории: существование у любого диффеоморфизма Аносова $G\in\operatorname{Diff}(\mathbb{T}^{\infty})$ устойчивого и неустойчивого инвариантных слоений. Библиография: 34 названия.