Геодезический поток на пересечении нескольких софокусных квадрик в $\mathbb{R}^n$

Abstract

Согласно теореме Якоби-Шаля для любой геодезической на $n$-осном эллипсоиде в евклидовом $n$-мерном пространстве найдутся помимо этого эллипсоида еще $n-2$ софокусных с ним квадрик, которых одновременно касаются все касательные прямые, проведенные к этой геодезической. В работе показано, что если рассмотреть геодезический поток на пересечении нескольких невырожденных софокусных квадрик, результат останется верным. Как и в случае теоремы Якоби-Шаля, этот факт обеспечивает интегрируемость соответствующего геодезического потока. Для каждого компактного пересечения нескольких невырожденных софокусных квадрик был определен его класс гомеоморфности. Как оказалось, любое такое пересечение гомеоморфно прямому произведению нескольких сфер. Также в работе описано достаточное условие на потенциал, добавление которого сохранит интегрируемость соответствующей динамической системы на пересечении произвольного числа софокусных квадрик. Библиография: 16 названий.