Обобщенная теорема Якоби-Шаля в неевклидовых пространствах

Abstract

Классическая теорема Якоби-Шаля утверждает, что касательные линии, проведенные к каждой точке геодезической на $n$-осном эллипсоиде в евклидовом $n$-мерном пространстве, касаются помимо этого эллипсоида еще $n-2$ софокусных с ним квадрик, общих для всех точек этой геодезической. Эта теорема обеспечивает интегрируемость геодезического потока на эллипсоиде. Недавние результаты Г. В. Белозерова и В. А. Кибкало показывают, что аналогичная теорема справедлива для произвольного пересечения софокусных квадрик в евклидовом пространстве. В настоящей работе показано, что геодезический поток на пересечении нескольких софокусных квадрик в псевдоевклидовых пространствах $\mathbb R^{p,q}$, а также в пространствах постоянной кривизны является интегрируемым. В качестве следствия доказан аналогичный результат для софокусных биллиардов на таких пересечениях. При этом показано, что в случае размерности 2 последний результат нельзя распространить на поверхности, локально неизометричные пространствам постоянной кривизны. Библиография: 15 названий.