О симметризованных критериях типа хи-квадрат в авторегрессии с выбросами в данных

Abstract

Мы рассматриваем линейную стационарную модель $\mathrm{AR}(p)$ с неизвестными средним, коэффициентами и функцией распределения инноваций $G(x)$. Наблюдения за авторегрессией содержат грубые ошибки (выбросы, засорения). Распределение засорений $\Pi$ неизвестно, их интенсивность - $\gamma n^{-1/2}$ с неизвестным $\gamma$, $n$ - число наблюдений. Основной задачей (помимо прочих) является проверка гипотезы о нормальности инноваций $\boldsymbol H_{\Phi}\colon G (x)\in \{\Phi(x/\theta), \theta>0\}$, $\Phi(x)$ - функция распределения $\boldsymbol N(0,1)$. В рассматриваемой ситуации неприменимы тесты, которые строились ранее для авторегрессии с нулевым средним. В качестве альтернативы в этой работе предлагаются специальные симметризованные тесты типа хи-квадрат. Их асимптотическое распределение при гипотезе и $\gamma=0$ свободно. Изучается асимптотическая мощность при локальных альтернативах в виде смеси $G(x)=A_{n,\Phi}(x) :=(1-n^{-1/2})\Phi(x/\theta_0)+n^{-1/2}H(x)$, где $H(x)$ - функция распределения, а $\theta_0^2$ - неизвестная дисперсия инноваций при $\boldsymbol H_{\Phi}$. Устанавливается асимптотическая качественная робастность тестов в терминах равностепенной непрерывности семейства предельных мощностей (как функций $\gamma$, $\Pi$ и $H(x)$) относительно $\gamma$ в точке $\gamma=0$.