О емкостях, соизмеримых с гармоническими

Abstract

Пусть $\mathcal L$ - однородный эллиптический дифференциальный оператор второго порядка в $\mathbb R^N$, $N\geqslant 3$, с постоянными комплексными коэффициентами. В терминах емкостей $\gamma_{\mathcal L}$ описываются устранимые особенности $\mathrm L^{\infty}$-ограниченных решений уравнений $\mathcal Lf=0$, $\gamma_{\Delta}$ - это классические гармонические емкости теории потенциала. Доказывается соизмеримость $\gamma_{\mathcal L}$ и $\gamma_{\Delta}$ при всех $\mathcal L$ и соответствующих $N$. В доказательстве используются некоторые идеи Х. Толсы. Даются различные следствия указанной соизмеримости, в частности, критерии равномерной приближаемости функций решениями уравнений $\mathcal Lf=0$ формулируются в терминах гармонических емкостей. Библиография: 19 названий.