Функции класса $C^\infty$ от некоммутирующих переменных в контексте треугольных алгебр Ли

Abstract

Для каждой треугольной действительной алгебры Ли $\mathfrak{g}$ построено пополнение $C^\infty_\mathfrak{g}$ ее универсальной обертывающей алгебры. Оно является действительной алгеброй Фреше-Аренса-Майкла, состоящей из элементов полиномиального роста и удовлетворяющей следующему универсальному свойству: любой гомоморфизм алгебр Ли из $\mathfrak{g}$ в действительную банахову алгебру, все элементы которой имеют полиномиальный рост, может быть продолжен до непрерывного гомоморфизма из $C^\infty_\mathfrak{g}$. Элементы $C^\infty_\mathfrak{g}$ могут быть названы функциями класса $C^\infty$ от некоммутирующих переменных. Доказательство опирается на теорию представлений и использует упорядоченное $C^\infty$-функциональное исчисление. Помимо общего случая мы разбираем два простых примера. В качестве вспомогательного материала развиты начала общей теории алгебр полиномиального роста. Кроме того, рассмотрены локальные варианты пополнения и показано, что в нильпотентном случае возможно построить пучок некоммутативных функций на спектре Гельфанда алгебры $C^\infty_\mathfrak{g}$. Мы также обсуждаем теорию голоморфных функций некоммутирующих переменных, предложенную Доси, и используем наши методы для доказательства теорем, усиливающих некоторые его утверждения. Библиография: 44 наименования.