Нелинейность бент-функций над конечными полями

Abstract

Функция от $n$ переменных над полем из $q$ элементов называется максимально нелинейной, если она имеет наибольшую нелинейность среди всех $q$-значных функций от $n$ переменных. Доказано, что при $q>2$ и четных значениях $n$ необходимым условием максимальной нелинейности функции является отсутствие линейного многообразия размерности не меньше $n/2$, на котором ее ограничение совпадает с ограничением некоторой аффинной функции. Из него следует, что бент-функции из семейств Мэйорана - МакФарланда и Диллона не являются максимально нелинейными. Построено новое семейство максимально нелинейных бент-функций степеней от $2$ до $\max \{2, (q-1)(n/2-1)\}$ с нелинейностью, равной $(q-1)q^{n-1} - q^{n/2-1}$.