Коллокационная аппроксимация глубокими $\mathrm{ReLU}$-нейронными сетями решений параметрических и стохастических уравнений с частными производными c логнормальными входами

Abstract

Дается оценка скорости сходимости коллокационной аппроксимации глубокими $\mathrm{ReLU}$-нейронными сетями решений эллиптических уравнений с частными производными c логнормальными входами, параметризованных параметром $\boldsymbol{y}$ из некомпактного множества ${\mathbb R}^\infty$. Погрешность аппроксимации измеряется в норме пространства Бохнера $L_2({\mathbb R}^\infty, V, \gamma)$, где $\gamma$ - бесконечная тензорная стандартная гауссовская вероятностная мера на ${\mathbb R}^\infty$, а $V$ - энергетическое пространство. Также получены не зависящие от размерности результаты в случае, когда логнормальные входы параметризованы множеством ${\mathbb R}^M$ очень большой размерности $M$, а погрешность аппроксимации измеряется в равномерной норме пространства Бохнера $ L_\infty^{\sqrt{g}}({\mathbb R}^M, V)$ с весом $\sqrt{g_M}$, где $g_M$ - плотность распределения стандартной гауссовской вероятностной меры на ${\mathbb R}^M$. Библиография: 62 названия.