Циклические накрытия графов. Перечисление отмеченных остовных лесов и деревьев, индекс Кирхгофа и якобианы

Abstract

Цель настоящего обзора - изучение инвариантов циклических накрытий графов. При этом накрываемый граф предполагается фиксированным, а циклическая группа накрытия имеет сколь угодно большой порядок. Классическим примером такого накрытия является циркулянтный граф. Он накрывает одновершинный граф с заданным числом петель. Более сложными представителями семейства циклических накрытий являются $I$-, $Y$-, $H$-графы, обобщенные графы Петерсена, сэндвич-графы, дискретные торы и многие другие. В обзоре приведены аналитические формулы, позволяющие вычислять число отмеченных остовных лесов и деревьев в циклических накрытиях, найдена их асимптотика и изучены арифметические свойства этих чисел. Кроме того, для циркулянтных графов указаны точные формулы для вычисления индекса Кирхгофа и приведены структурные теоремы о строении якобианов таких графов. Библиография: 95 названий.