Affiliation:
1. Department of Mathematics and Computer Science, Saint Petersburg State University, St. Petersburg, Russia
2. Guangdong Technion Israel Institute of Technology, Shantou, Guangdong Province, P. R. China
Abstract
Мы даем обзор результатов о сходимости в песочных моделях. Мы доказываем для песочной модели на треугольной решетке результаты, аналогичные уже существующим для квадратной решетки. А именно: рассмотрим песочную модель на целых точках плоскости, положим $n$ песчинок в начало координат. Запустим процесс релаксации: если в некоторой вершине $z$ число песчинок не меньше ее степени (в этом случае говорим, что вершина $z$ нестабильна), перемещаем из $z$ в каждого из соседей $z$ по одной песчинке; повторяем эту операцию, пока есть нестабильные вершины. Мы доказываем, что носитель состояния $(n\delta_0)^\circ$, на котором процесс стабилизируется, растет со скоростью $\sqrt n$, и после ремасштабирования в $\sqrt n$ раз у $(n\delta_0)^\circ$ есть предел в $^*$-слабой топологии.
Такой результат уже был показан У. Пежденом и Ч. К. Смартом для квадратной решетки (каждую вершину соединяем с четырьмя ближайшими соседями), мы распространяем его на треугольную (каждая вершина соединяется с шестью соседями) решетку.
Библиография: 39 названий.
Funder
Russian Science Foundation
Publisher
Steklov Mathematical Institute