Локальные бифуркации и глобальный аттрактор двух версий слабодиссипативного уравнения Гинзбурга-Ландау

Abstract

Рассматривается периодическая краевая задача для двух вариантов слабодиссипативного комплексного уравнения Гинзбурга-Ландау. В первом случае изучен вариант такого уравнения, в котором нелинейность содержит члены третьей и пятой степени. Изучен вопрос о локальных бифуркациях бегущих периодических волн при смене ими устойчивости. Показано, что в результате таких бифуркаций возникает счетный набор двумерных инвариантных торов. При этом в рассматриваемом варианте постановки задачи возможны оба типа бифуркаций: мягкие (послекритические) и жесткие (докритические). Это зависит от выбора коэффициентов уравнения. Для решений, формирующих инвариантные торы, получены асимптотические формулы. Изучена также периодическая краевая задача для уравнения, которое в физике называется нелокальным уравнением Гинзбурга-Ландау. Показано, что в рассматриваемом варианте краевая задача имеет бесконечномерный глобальный аттрактор. Указаны решения, формирующие такой аттрактор.