Об осесимметричном кручении упругого слоя посредством двух абсолютно жестких круговых цилиндрических штампов

Abstract

Рассматривается осесимметричная контактная задача о кручении упругого слоя посредством двух абсолютно жестких круговых цилиндрических штампов разных радиусов. Предполагается, что штампы сцеплены с упругим слоем на его верхней и нижней гранях и подвержены крутящим моментам. При помощи интегрального преобразования Ханкеля решение задачи сведено к решению си-стемы двух интегральных уравнений (ИУ) Фредгольма первого рода. Все ядра этой системы ИУ выражаются интегралами от произведения бесселевых функций первого рода индекса 1, подынтегральные функции которых, кроме одного ин-теграла, на бесконечности экспоненциально убывают. А в случае этого одного ядра-интеграла выделены его главная часть в виде интеграла Вебера-Сонина и ре-гулярная часть. Регулярная часть – ядро опять представляется интегралом от экспоненциально убывающей на бесконечности функции. Методом коллокации в сочетании с использованием квадратурных формул типа Гаусса исходная ОСИУ сведена к конечной СЛАУ. Контактные касательные напряжения и углы поворотов штампа выражаются через решение этой СЛАУ. Դիտարկվում է տարբեր շառավիղներով բացարձակ կոշտ շրջանային գլանաձև դրոշմների միջոցով առաձգական շերտի առանցքահամաչափ ոլորման մասին կոնտակտային խնդիրը: Ենթադրվում է, որ դրոշմները հարակցված են առաձգական շերտի վերին և ստորին նիստերին և ենթարկված են պտտող մոմենտների ազդեցությանը: Հանկելի ինտեգրալ ձևափոխության օգնությամբ խնդրի լուծումը բերված է երկու հավասարումներից բաղկացած Ֆրեդհոլմի առաջին սեռի ինտեգրալ հավասարումների համակարգի (ԻՀՀ) լուծման: Այդ համակարգի բոլոր կորիզներն արտահայտվում են 1 ինդեքսով Բեսելի ֆունկցիաների արտադրյալներից ինտեգրալներով: Դրանց բոլորի, բացի մեկից, ենթաինտեգրալ ֆունկցիաներն անվերջությունում էքսպոնենցիալ արագությամբ նվազող ֆունկցիաներ են: Իսկ այդ մեկ կորիզին-տեգրալի դեպքում առանձնացված են իր գլխավոր մասը` Վեբեր-Սոնինի ինտեգրալի տեսքով, և ռեգուլյար մասը: Ռեգուլյար մասկորիզը կրկին ներկայացված է անվերջությունում էքսպոնենցիալ նվազող ֆունկցիայի ինտեգրալով: Կոլոկացիայի մեթոդով` զուգակցված Գաուսի քառակուսացման բանաձևերի հետ, որոշիչ ինտեգրալ հավասարումների համակարգը հանգեցվել է գծային հանրահաշվական հավասարումների վերջավոր համակարգի: Շոշափող կոնտակտային լարումները և դրոշմների պտտման անկյուններն արտահայտված են վերջավոր համակարգի լուծումներով: An axisymmetric contact problem on the torsion of an elastic layer by means of two absolutely rigid circular cylindrical punches of different radii is considered. It is assumed that the punches are adhered to the elastic layer on its upper and lower faces and are subject to torques. Using the Hankel integral transform, solving the problem is reduced to solving a system of two Fredholm integral equations (IEs) of the first kind. All kernels of this IE system are expressed as integrals of the product of Bessel functions of the first kind of index 1, whose integrands, except for one integral, decrease exponentially at infinity. In the case of one kernel-integral, its main part in the form of the Weber-Sonin integral and the regular part are distinguished. The regular part-kernel is again represented by the integral of a function exponentially decreasing at infinity. Using the collocation method in combination with the Gauss-type quadrature formulas, the initial governing system of integral equations is reduced to the finite SLAE. The contact shear stresses and punch rotation angles are expressed in terms of the SLAE solution.