Delineamentos (1/5)(5³)

Abstract

É descrita a análise estatística de um grupo especial de fatoriais fracionados (1/5) (5³), utilizando os modelos quadráticos e com raiz quadrada; tal estudo foi desenvolvido pelos autores visando principalmente sua aplicação em experimentos agronômicos com fertilizantes. Estes delineamentos fatoriais se originaram da superposição de três dos quatro quadrados latinos ortogonais 5x5, sendo obtidos três conjuntos básicos, designados por Tipo I, II, III, Tipo I, II, IV e Tipo I, III, IV; o último deles é apresentado: 111 245 324 453 532 222 351 435 514 143 333 412 541 125 254 444 523 152 231 315 555 134 213 342 42 O modelo quadrático com dez parâmetros é dado por: Yijk = b0x0 +b li x li + b lj x lj + b lk x lk + b2i x2i + b2j x2j + b2k x2k + + b lilj x lilj + b lilk x lilk + b ljlk x ljlk + x ijk em que x lm = a1 + Xm, x2m = a2 + g2Xm + X²m , com m= i,j,k; os níveis em cada fator variam de 1 a 5; com as condições de ortogonalidade Sx lm=0, Sx2m=0, Sx lm x2m=0, resulta Sxlm=-3+Xm e Sx2m= 7-6Xm+X²m, de onde se tem: x l1=-2; x l2=-1; x l3=0; x l4=1; x l5=2; x21=2; x22=-1; x23=-2; x24=-1; x25=2, para cada índice i,j,k. O coeficiente linear para cada fator pode ser estimado independentemente; os coeficientes quadráticos e das interações linear x linear são estimados a partir de uma matriz simétrica completa 6x6. Consequentemente, na análise da variância as somas de quadrados dos componentes lineares são independentes, mas as somas de quadrados dos componentes quadráticos e das interações são confundidas e, por isso, testadas conjuntamente. Se a contribuição de um fator e sua interação com os outros são negligíveis, podem ser calculadas estimativas independentes dos coeficientes linear e quadrático dos outros dois fatores e sua interação correspondente. Por outro lado, se todos os fatores são importantes mas suas interações são negligíveis, os coeficientes lineares e quadráticos de cada fator são estimados independentemente. O modelo polinomial com raiz quadrada pode ser representado na mesma forma (A), com os valores: x lm= a1+ (Xm)½ e x2m= a2+ g2(Xm)½ +Xm, onde m= i,j,k; Sx lm=0, Sx2m=0, Sx lm x2m=0, dando: x lm= -1,67646 + (Xm)½, x2m= 2,41157-3,22798 (Xm)½ +Xm o que resulta x l1=-0,67646; x l2=-0,26226; x l3=0,05554; x l4=0,32354; x l5=0,55964; x21=0,18359; x22=-0,15342; x23=-0,17928; x24=-0,04438; x25=0,19349, para cada fator i,j,k. Neste modelo, com exclusão de b0, os coeficientes para cada fator e para as respectivas interações são estimados a partir de uma matriz simétrica completa 9x9; assim, com exceção da soma de quadrados correspondente a b0, que pode ser calculada isoladamente, teremos uma única soma de quadrados representando todos os outros coeficientes, que serão, por isso, testados englobadamente. Quando as três interações, ou quando um fator principal e suas interações são negligíveis, o modelo com raiz quadrada apresenta as mesmas propriedades que o modelo quadrático. Assumindo a não existência de interações, pode-se utilizar o modelo de Mitscherlich Y= A [1-10-c(x+h) ] para avaliação da resposta de cada fator, a partir dos totais marginais correspondentes. Pode-se ainda obter uma avaliação extra a partir da diagonal principal do delineamento, que representa a resposta a quantidades crescentes, em níveis iguais, para os três fatores. Com vistas à avaliação do incremento devido ao uso da adubação e ainda uma visualização extra do efeito de calcário e calcário mais micronutrientes, podem ser adicionados ao delineamento (1/5) (5x5x5) alguns tratamentos extras para melhor atingir esse objetivo: o tratamento 000, o tratamento 333+(Ca+Mg) e o tratamento 333+(Ca+Mg)+ micronutrientes, possivelmente com duas repetições para cada um deles. Se se desejar avaliar a adequação do modelo utilizado, podem ser colocados mais quatro ou cinco pontos no nível 333. Usando uma amplitude apropriada das dosagens (evitando platô nas respostas), este grupo de delineamentos possibilita uma análise mais eficiente da curvatura da superfície de resposta na área da decisão econômica. Se os modelos são usados sem as interações, a estimação dos parâmetros, de forma independente, para os modelos quadrático, com raiz quadrada e Mitscherlich, pode ser facilmente conseguida. Estas propriedades são de grande interesse nos estudos econômicos de programas de fertilizantes para países em desenvolvimento. Com a ajuda de uma rede de experimentos deste tipo, podem ser obtidos estudos econômicos com macronutrientes como nitrogênio, fósforo e potássio, por exemplo, com cinco níveis de cada fator, com experimentos de tamanho médio.