Неперервні функції з локально складними та фрактальними властивостями, пов'язані з нескінченносимвольним $B$-зображенням чисел

Abstract

Вводиться і вивчається масивний клас неперервних функцій, визначених на інтервалі $(0;1)$ з використанням спеціального кодування (зображення) аргументу з алфавітом $Z=\{0,\pm 1, \pm 2,\ldots \}$: $x=b_{\alpha_1}+\sum\limits_{k=2}^{m}b_{\alpha_k}\prod\limits_{i=1}^{k-1}\Theta_{\alpha_i}\equiv \Delta^{B}_{\alpha_1\alpha_2\ldots \alpha_m(\varnothing)},$ $x=b_{\alpha_1}+\sum\limits_{k=2}^{\infty}b_{\alpha_k}\prod\limits_{i=1}^{k-1}\Theta_{\alpha_i}\equiv \Delta^{B}_{\alpha_1\alpha_2\ldots \alpha_n\ldots },$ де $\alpha_n\in Z,$ $\Theta_n>0$ $\forall n\in Z,$ $\dsum_{n=-\infty}^{+\infty}\Theta_n=1,$ $b_{n+1}\equiv\dsum_{i=-\infty}^{n-1}=b_n+\Theta_n$ $\forall n\in Z$. Функцію $f$, що є основним об’єктом дослідження, означуємо рівностями $f(x=\Delta^{B}_{i_1\ldots i_k\ldots })=\sigma_{i_11}+\dsum_{k=2}^{\infty}\sigma_{i_kk}\dprod_{j=1}^{k-1}p_{i_jj}\equiv \Delta_{i_1\ldots i_k\ldots },$ $f(x=\Delta^{B}_{i_1\ldots i_m(\varnothing)})=\sigma_{i_11}+\dsum_{k=2}^{m}\sigma_{i_kk}\dprod_{j=1}^{k-1}p_{i_jj}\equiv \Delta_{i_1\ldots i_m(\varnothing)},$ де нескінченна матриця $\|p_{ik}\|,$ $i\in Z,$ $k\in N,$ задовольняє умови: 1) $|p_{ik}|<1$ $\forall i\in Z,$ $\forall k\in N$; 2) $\dsum_{i\in Z}p_{ik}=1$ $\forall k\in N$; 3) $0<\dsum_{k=2}^{\infty}\dprod_{j=1}^{k-1}p_{i_jj}<\infty$ $\forall (i_j)\in L$; 4) $0<\sigma_{ik}\equiv\dsum_{j=-\infty}^{i-1}p_{jk}<1$ $\forall i\in Z,$ $\forall k\in N$. Серед функцій цього класу є монотонні, немонотонні, ніде немонотонні і такі, що не мають проміжків монотонності окрім проміжків сталості, функції канторівського і квазіканторівського типів, функції обмеженої та необмеженої варіації. Обґрунтовано критерії монотонності та канторовості функції $f$, а також критерій її ніде немонотонності. Одержано вирази міри Лебега множини несталості функції та варіації функції. Встановлено необхідні й достатні умови, за яких функція має необмежену варіацію. Для частинного випадку описано автомодельність (структурну фрактальність) графіка функції і вивчено її диференціальні властивості.