Intuitionistische Untersuchungen der formalistischen Logik

Abstract

Der. Umschwung, welchen die mathematischen Grundlagenforschungen in diesem Jahrhundert erfuhren, teilte früher einmal die Untersuchungen in drei Hauptrichtungen ab, nämlich in die intuitionistische, logistische und formalistische Auffassung der Mathematik, wonach die lebhafte Polemik über das Wesen der Mathematik sowie das Verhältnis der Logik zur Mathematik aufblütete, und zwar am heftigsten in den zwanziger Jahren dieses Jahrhunderts. Nicht in den prinzipiellen Einsichten, sondern in der Methode der Forschungen hatten doch diese drei Standpunkte viele Berührungspunkte. Erstens entlehnt der Hilbertsche Formalismus dem Logizismus das Hilfsmittel zur Formalisierung der Mathematik. Zweitens ragt die Beweisführung in der Metamathematik, welche die formalisierte Mathematik als ihren eigenen Gegenstand der Untersuchungen betrachtet, insofern nicht aus der intuitionistischen Mathematik hervor, als man die formalisierte Mathematik nur als Zeichenkombinationen ansieht. Ferner sind die formalen Regeln, welche in der intuitionistischen Denktätigkeit erfindlich sind, zuerst von Herrn Heyting formalisiert, danach von Herren Gödel, Gentzen u. a, der logistischen Untersuchungen unterworfen worden. Überdies haben diese drei Richtungen der Grundlagenforschungen heutzutage, wozu gemeinsam der erste Anstoss durch die Cantorsche Mengenlehre gegeben worden ist, auch ihre Absicht in Gemeinschaft, welche dar in besteht, die Logik in bezug auf das Unendliche zu verdeutlichen und damit der Mathematik sichere Stellung zu liefern.