О новой комбинации последовательности ортогональных полиномов

Abstract

In this paper, we are interested in the following inverse problem.We assume that $\{P_{n}\} _{n\geq 0}$ is a~monic orthogonal polynomials sequence withrespect to a quasi-definite linear functional $u$and we analyze the existence of a sequence of orthogonal polynomials$\{ Q_{n}\} _{n\geq 0}$ such that we have a following decomposition$Q_{n}(x)+r_{n}Q_{n-1}(x)=P_{n}(x)+s_{n}P_{n-1}(x)+t_{n}P_{n-2}(x) +v_{n}P_{n-3}( x)$, $n\geq 0$,when $v_{n}r_{n}\neq 0,$ for every $n\geq 4.$ Moreover, we show that theorthogonality of the sequence $\{Q_{n}\}_{n\geq 0}$ can be also characterized by the existence ofsequences depending on the parameters $r_{n}$, $s_{n}$, $t_{n}$, $v_{n}$ andthe recurrence coefficients which remain constants. Furthermore, we show that therelation between the corresponding linear functionals is$k( x-c) u=( x^{3}+ax^{2}+bx+d) v$,where $c, a, b, d\in \mathbb{C}$ and $k\in \mathbb{C}\setminus \{0\}$.We also study some subcases in which the parameters $r_{n},$ $s_{n},$ $t_{n}$ and $v_{n}$can be computed more easily.We end by giving an illustration for a special example of the above typerelation. В настоящая статья посвященаследующей обратной задаче. Для последовательность полиномов от одной переменной$\{P_{n}\} _{n\geq 0}$, ортогональных относительно квазиопределенного линейногофункционала $u$, выяснить условия существования последовательности ортогональныхполиномов $\{ Q_{n}\}_{n\geq 0}$, для которых имеет место разложение$Q_{n}(x)+r_{n}Q_{n-1}(x)=P_{n}(x)+s_{n}P_{n-1}(x)+t_{n}P_{n-2}(x)+v_{n}P_{n-3}( x)$,$n\geq 0$, где $v_{n}r_{n}\neq 0,$ для всех $n\geq 4$. Показано, что ортогональностьпоследовательности $\{Q_{n}\}_{n\geq 0}$ характеризуется существованиемпоследовательностей, зависящих от параметров $r_{n}$, $s_{n}$, $t_{n}$, $v_{n}$ ипостоянных рекуррентных коэффициентов. Кроме того, установлено, что соотношение междусоответствующими линейными функционалами имеет вид $k( x-c) u=( x^{3}+ax^{2}+bx+d) v$,где $c, a, b, d\in \mathbb{C}$ and $k\in \mathbb{C}\setminus \{0\}$. Рассмотренытакже подклассы для которых параметры $r_{n},$ $s_{n},$ $t_{n}$ и $v_{n}$ легковычисляются. В конце приводятся иллюстрирующие примеры.