1. Walsh, J. L.: C. r. Acad. Sci., Paris239, 1572?1574, 1756?1758 (1954).
2. Die Untersuchungen vonWalsh knüpfen inhaltlich und methodisch an Arbeiten vonde la Vallée Poussin undJulia aus den Jahren 1930?1932 an, bei denen es sich jedoch vorwiegend um die komplizierteren Probleme handelte, die entstehen, wennS eine rationale, speziell eine ganz rationale Funktion ist, während der Rand des Bildes nicht notwendig aus vollständigen Niveaulinien besteht; vgl.G. Julia, Leçons sur la représentation conforme des aires multiplement connexes, Paris 1934. Nur eine Note vonde la Vallée Poussin bezieht sich auf einen Spezialfall des Problems vonWalsh: C. r. Acad. Sci., Paris192, 128?131 (1931).Zusatz bei der Korrektur: In einem zweiten Teil wird die hier verwendete Methode so weitergebildet, daß sie auch den Beweis der andern Ergebnisse vonde la Vallée Poussin undJulia ergibt.
3. Man beachte die Gl. (6), aus der die Regularität vonS (?) in ? und ihre Invarianz gegenüber einer Streckung folgt.
4. $$\frac{\partial }{{\partial n}}$$ bedeutet immer die Ableitung nach derin bezug auf B bzw. sein BildW äußeren Randnormalen.
5. $$\frac{\partial }{{\partial w}}$$ ist erklärt durch $$\frac{\partial }{{\partial w}} = \frac{1}{2}\left( {\frac{\partial }{{\partial u}} - i\frac{\partial }{{\partial v}}} \right)(w = u + iv)$$ . Falls die Funktionp (?), auf die der Operator angewandt wird, reell ist, so ist $$\frac{{\partial p}}{{\partial w}} = \frac{1}{2}\overline {grad p}$$ , und bei harmonischemp ist das eine analytische Funktion. In diesem Falle kann auch geschrieben werden $$p = \frac{1}{2}(P + \bar P)$$ , woP eine analytische Funktion ist, und es ist $$\frac{{\partial p}}{{\partial w}} = \frac{1}{2}P'$$ . Insbesondere ist also, wennp in ? regulär harmonisch ist dort $$\frac{{\partial p}}{{\partial w}} = O(w^{ - 2} )$$ .