1. V. F. Gaeta,Sulle curve sghembe algebriche di residuale flnito, « Annali di matematica pura ed applicata », Serie IV, T. XXVII, 1948. Citeremo in seguito questa memoria con le iniziali R. F. Ricordiamo che conSeveri chiamasi di residuale zero una curva sghembaa) irriducibile e priva di punti multipli,b) intersezione semplice completa di due superficie. Una curva soddisfacente la stessa condizionea) dicesi poi di residuale ρ, quando esistono due superficie passanti semplicemente per essa e segantisi altrove, pure semplicemente in una curva di residuale ρ − 1.
2. Some results in the aritmetic theory of algebraic varieties, « American Journal of mathematics », T. LVI. 1939, pag. 349. L’anzidetta caratterizzazione geometrica mediante la considerazione delle serie lineari applicata nel testo è dovutà aMuhly.A remark on normal varieties, « Annals of mathematics , vol. 42, n. 4, 1941, pag. 921. Per evitare di ripetere spesso una lunga locuzione adopereremo il termine aritmeticamente normale in senso conforme ai concetti algebrico-geometrici della Scuola italiana. La normalità aritmetica d’una curva irriducibile implica senz’altro ch’essa sia priva di punti multipli.
3. Una osservazione del professorSeveri, sulla quale torneremo più avanti ci ha indotti ad escludere in una prima fase della ricerca, le curve che non fossero irriducibili e prive di punti multipli (cfr. R. F, n, 4, pag. 188). Nella dimostrazione adoperata in R. F. è essenziale l’uso del resto di una curva rispetto a due superficie d’ordine minimo che la contengono. Ripetendo successivamente l’operazione di trovare questi resti a partire da una curva aritmeticamente normale, diminuisce l’ordine minimo delle superficie passanti per queste curve, ciò che dimostra che il processo deve avere una fine, cioè che si deve giungere ad una intersezione completa. Ma ho rilevato con un semplice esempio (v. R. F., n. 26) come un resto siffatto possa essere necessariamente spezzato e con singolarità. Bisognava colmare questa lacuna. Azzardavo l’ipotesi (che è stabilita rigorosamente in questo lavoro, dopo di avere dimostrato il teorema diversamente) che prendendo una curva aritmeticamente normale normale generica entro una famiglia che la contenesse, questi resti successivi doves. sero essere curve irriducibili e prive di punti multipli. Recentemente ho avuto notizie delle ricerche diR. Apéry che si era occupato dello stesso argomento ed era giunto ad un risultato analogo (« C. Rendus de l’Ac. des Sciences », Paris, 220, pag. 271, 1945; la dimostrazione diApéry non è esauriente perchè manca uno studio approfondito delle serie lineari sopra una curvaqualsiasi, limite di una curva irriducibile e priva di punti multipli. Cfr. la teoria delle serie sopra una curva spezzata in componentisemplici nell’opera diSeveri,Serie, sistemi d’equivalenza e corrispondenze algebriche tra le varietà algebriche, Ed. Cremonese, Roma, 1941, cap. V, pag. 119.
4. D. Hilbert,Ueber die Theorie der algebraischen Formen, « Math. Ann. », 26 (1890) s. 473–539 oppure le sueGesammelte Abhandlungen, 2-ter Band. s. 176–258.Hilbert adopera sistematicamente le sizigie nello studio degli invarianti delle forme; esse intervengono fondamentalmente nella sua trattazione della cosidettafunzione caratteristica di unH-ideale.
5. Über die Syzygientheorie der Polynomideale, « Monatshefte für Math. », 53 Band 1 Heft 1949 Wien e il libro dello stesso autoreModerne algebraische Geometrie (Springer, Wien, 1949).