Vertical vibration of a rigid circular foundation on Gibson soil

Abstract

An exact formulation is presented for the dual integral equations governing the mixed boundary value problem of the vertical vibration of a rigid circular foundation on a non-homogeneous elastic half-space of the Gibson (1967) type, where Poisson's ratio, v, is ½ and shear modulus, G, equals mz. The Winkler model obeyed by this system in the static case is, to a good approximation, still maintained for low frequency factor vibrations. Further, an interesting equivalence is established between Gibson soil and an incompressible but homogeneous half-space whose shear modulus is the same as that of Gibson soil at a depth equal to the radius of the foundation, i.e. the resonant frequency factor of the foundation is nearly the same and, to the same order of approximation, its amplitude response at high frequency factors is exactly equal in both cases. In the latter case of amplitude response, the rigid foundation vibrates as if it carries with it a mass of the soil equal to 2/π of the hemispherical mass subtended by its base. It is also shown that damping, because of the dispersion of waves, is much less in Gibson soil so that the amplitude at low frequency factors and, especially, at resonance is much higher than in the homogeneous medium. Also, the simple formula is established for the resonant frequency factor of large bodies like buildings and dams vibrating on Gibson soil, thus providing a direct resonance method of finding the constant, m, of shear modulus variation. On présente une formulation exacte des deux équations intégrales qui régissent le problème de valeurs limites mixtes dans la vibration verticale d'une fondation rigide circulaire dans un demi-espace non-homogène élastique du type de Gibson (1967); le Module de Poisson v=½ et le Module de cisaillement G = mz. On établi que le modèle de Winkler, que ce modèle suit dans le cas statique, est également valable pour des vibrations de basse fréquence, avec une très bonne approximation. De plus on a établi l'équivalence intéressante entre le sol de Gibson et un demi-espace incompressible mais homogene dont le module de cisaillement est identique à celui du sol de Gibson à une profondeur égale au rayon de la fondation, c'est à dire que le facteur de fréquence à la résonance est pratiquement identique et, avec la même approximation, la réponse en amplitude aux hautes fréquences est exactement égale dans les deux cas. Dans ce dernier cas de réponse en amplitude, le corps rigide vibre comme s'il entrainait une masse de sol égale à 2/π de la masse hémisphérique soustendue par sa base. On montre également que l'amortissement dû à la dispersion des ondes de vibration est bien moindre dans le sol de Gibson, ce qui fait que l'amplitude aux basses fréquences, et, en particulier à la résonance, est beaucoup plus haute que dans le milieu homogéne. Egalement, on a établi la formule simple: pour le facteur de fréquence à la résonance de volumes importants, comme les bâtiments ou les barrages, vibrant dans un sol de Gibson, ce qui donne une méthode directe, basée sur la résonance, pour trouver la constante m de la variation du module de cisaillement.