НЕКЛАССИЧЕСКИЕ И СКРЫТЫЕ СИММЕТРИИ НЕЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ

Abstract

Рассматриваются классические и неклассические симметрии алгебраических уравнений и систем алгебраических уравнений. Описаны преобразования, сохраняющие вид некоторых алгебраических уравнений, а также преобразования, понижающие степень этих уравнений. Показано, что отдельные алгебраические уравнения, имеющие скрытые симметрии, путем введения новой дополнительной переменной могут сводиться к классическим симметрическим системам алгебраических уравнений. Установлено, что симметрические системы алгебраических уравнений смешанного типа, состоящие из симметрических и антисимметрических многочленов, можно преобразовать к более простым системам. Излагается метод решения неклассических симметрических систем двух алгебраических уравнений, которые меняются местами при перестановке неизвестных. Исследуются алгебраические уравнения, содержащие вторую итерацию заданного многочлена, которые сводятся к неклассическим симметрическим системам уравнений. Приведены примеры решения конкретных алгебраических уравнений и систем таких уравнений, допускающих явные и скрытые симметрии. В частности, рассматриваются нетривиальные алгебраические уравнения шестой и девятой степени, содержащие свободные параметры, которые допускают решения в радикалах. Описаны иррациональные уравнения, которые путем введения двух новых переменных сводятся к симметрическим системам алгебраических уравнений.