О разрешимости одной начально-граничной задачи для вырождающегося уравнения высокого четного порядка

Abstract

Рассмотрено вырождающееся дифференциальное уравнение в частных производных высокого четного порядка в прямоугольнике. Для рассматриваемого уравнения сформулирована одна начально-граничная задача и исследованы единственность, существование и устойчивость ее решения. Единственность решения задачи доказана методом интегральных тождеств. Существование решения задачи исследовано методом разделения переменных. Здесь сначала исследована спектральная задача для обыкновенного дифференциального уравнения высокого четного порядка, вытекающая из поставленной задачи при разделении переменных. Построена функция Грина спектральной задачи. С еe помощью спектральная задача эквивалентно сведена к интегральному уравнению Фредгольма второго рода с симметричным ядром. Отсюда на основании теории интегральных уравнений заключено, что существует счетное число собственных значений и собственных функций спектральной задачи. Найдены условия, при которых заданная функция разлагается в равномерно сходящийся ряд Фурье по собственным функциям спектральной задачи. C использованием свойств функции Грина и собственных функций спектральной задачи доказана лемма о равномерной сходимости некоторых билинейных рядов. Доказаны также леммы о порядке коэффициентов Фурье заданной функции. Решение изучаемой задачи выписано в виде суммы ряда Фурье по системе собственных функций спектральной задачи. Равномерная сходимость этого ряда и рядов, полученных из него почленным дифференцированием, доказана с помощью лемм, перечисленных выше. В конце статьи получены две оценки для решения поставленной задачи, одна из которых - в пространстве квадратично суммируемых функций с весом, а другая - в пространстве непрерывных функций. Из этих неравенств следует устойчивость решения в соответствующих пространствах.