Метод Римана для уравнений с доминирующей частной производной

Abstract

Данная обзорная статья посвящена классу линейных уравнений с доминирующей частной производной вида $(D+M)u=f$, где $Du$ - смешанная частная производная, а $M$ - линейный дифференциальный оператор, содержащий производные функции $u$, получаемые из $D$ отбрасыванием по крайней мере одного дифференцирования. Можно отметить структурное сходство таких уравнений с линейными обыкновенными дифференциальными уравнениями. Излагается метод Римана для линейных уравнений с доминирующей частной производной, являющийся естественным обобщением хорошо известного метода Римана для гиперболического уравнения второго порядка с двумя независимыми переменными. В статье изложены основные положения теории, разработанной для уравнения с доминирующей частной производной общего вида, позволяющие заинтересованному читателю применить полученные результаты к интересующей его задаче. Дается определение функции Римана как решения интегрального уравнения Вольтерры, приведено основное дифференциальное тождество, продемонстрирован процесс получения формулы решения задачи Коши в терминах функции Римана путем интегрирования указанного тождества по соответствующей области в $n$-мерном пространстве. Приведен пример построения решения задачи Коши для одного уравнения третьего порядка. Далее излагается метод Римана для достаточно широкого класса линейных систем уравнений гиперболического типа (в том числе с кратными характеристиками). Данный метод идейно весьма близок к методу Римана для линейных уравнений с доминирующей частной производной. Обсуждаются вопросы приложений метода Римана к исследованию новых задач для уравнений с частными производными. В частности, с использованием метода Римана доказана корректность новых граничных задач для факторизованных гиперболических уравнений, исследованы вопросы разрешимости интегральных уравнений с частными интегралами, определенная модификация метода Римана позволяет развивать метод Римана-Адамара для задач Дарбу. Представление решений гиперболических систем в явном виде в терминах матрицы Римана позволяет исследовать новые граничные задачи, в частности, задачи с заданием нормальных производных искомых функций на характеристиках, задачи с условиями на всей границе области, задачи Дарбу. Изложенный здесь метод Римана для линейных уравнений с доминирующей частной производной очевидным образом переносится на матричные уравнения. В связи с этим указаны некоторые случаи, когда для таких матричных уравнений построена в явном виде (в терминах гипергеометрических функций) матрица Римана. В работе дается обзор литературы, кратко излагается история развития данного направления в России и за рубежом.