Строгое решение задачи о состоянии линейно-упругого изотропного тела под воздействием полиномиальных объемных сил

Abstract

При решении краевых задач о построении напряженно-деформированного состояния линейно-упругого изотропного тела важным шагом является отыскание внутреннего состояния, порожденного силами, распределенными по занятой телом области. В классическом варианте существует численный способ оценки состояния в любой точке тела, базирующийся на сингулярно-интегральном представлении Чезаро. В варианте консервативных объемных сил возможно выписывание решений в аналитической форме. При произвольных регулярных воздействиях механической и иной физической природы силы потенциальными не являются и подходы Папковича--Нейбера и Аржаных--Слободянского оказываются бессильными. Кроме этого, решение нелинейных задач эластостатики средствами метода возмущений, а также использование при решении задач для исследования многополостных тел алгоритма Шварца приводят к необходимости решения последовательности линейных задач. При этом в обязательном порядке зарождаются фиктивные объемные силы, имеющие, как правило, полиномиальный характер. Разработанный авторами ранее метод оценки напряженно-деформированного состояния тела, вызванного воздействием полиномиальных объемных сил, представляемых в декартовых координатах, получил развитие. Внутреннее состояние восстанавливается в строгом соответствии с силами, статически воздействующими на односвязное ограниченное линейно-упругое тело. Предложены и описаны эффективный метод построения решения и алгоритм его компьютерной реализации. Продемонстрированы тестовые расчеты. Выполнен анализ состояния шара, находящегося под воздействием суперпозиции объемных сил различного характера при различных соотношениях параметров, подчеркивающих уровень влияния этих факторов. Результаты оформлены графически. Сделаны следующие выводы: а) обоснована процедура выписывания напряженно-деформированного состояния от объемных сил, представляемых полиномами от декартовых координат; б) алгоритм реализован в вычислительной системе Mathematica и проведено тестирование на многочленах высокого порядка; в) проведен анализ квазистатического состояния линейно-упругого изотропного шара, подверженного воздействию сил гравитации и инерции при различных сочетаниях параметров, отвечающих вариантам медленного, быстрого, компенсационного (инерционные силы соразмерны с гравитационными) вращений. Отмечены перспективы развития нового подхода на класс ограниченных и неограниченных тел, содержащих произвольное число полостей.