Потенциалы для трехмерного эллиптического уравнения с одним сингулярным коэффициентом и их применение

Abstract

Рассматривается теория потенциала для трехмерного эллиптического уравнения с одним сингулярным коэффициентом. В рассмотрение вводятся потенциалы двойного и простого слоев с неизвестной плотностью, которые выражаются через фундаментальное решение названного эллиптического уравнения. При исследовании этих потенциалов используются свойства гипергеометрической функции Гаусса. Доказаны теоремы о предельных значениях введенных потенциалов и их конормальных производных, которые позволяют эквивалентным образом свести краевые задачи для сингулярных эллиптических уравнений к интегральному уравнению второго рода, к которому применима теория Фредгольма. В качестве приложения изложенной теории в области, ограниченной координатной плоскостью $x=0$ и поверхностью Ляпунова при $x>0$, для трехмерного эллиптического уравнения с одним сингулярным коэффициентом решается задача Хольмгрена. Единственность решения поставленной задачи доказывается известным методом $abc$, а существование - методом функции Грина, регулярная часть которой ищется в виде потенциала двойного слоя с временно неизвестной плотностью. Решение задачи Хольмгрена находится в виде, удобном для дальнейших исследований.