Использование псевдоневязок при исследовании сходимости неустойчивых разностных краевых задач для линейных неоднородных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка

Abstract

При исследовании краевых задач для неоднородных линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с переменными коэффициентами рассмотрен предложенный ранее метод численного интегрирования, использующий средства матричного исчисления. Согласно указанному методу при составлении системы разностных уравнений можно выбрать произвольную степень многочлена Тейлора в разложении искомого решения задачи в ряд Тейлора, отказавшись при этом от аппроксимации производных конечными разностями. Исследованы некоторые аспекты сходимости неустойчивой разностной краевой задачи второго порядка. Для обыкновенного дифференциального уравнения введено понятие псевдоневязки на некотором векторе. На основе точного решения разностной краевой задачи построено приближенное решение, на котором норма псевдоневязки отлична от тривиального значения. Теоретически установлено, что оценка нормы псевдоневязки уменьшается при увеличении используемой степени многочлена Тейлора и при уменьшении шага дискретизации сетки. Даны определения условной устойчивости и условной сходимости; установлена теоретическая связь между ними. На основе найденного вектора псевдоневязок построено возмущенное решение и вычислена оценка нормы его отклонения от точного решения разностной краевой задачи, позволяющая выявить наличие условной устойчивости. Установлена теоретическая связь между сходимостью и условной сходимостью. Приведены результаты численных экспериментов.