Кратная интерполяционная задача Валле Пуссена

Abstract

Получено решение кратной интерполяционной задачи Валле Пуссена оператора обобщенной свертки. Основное внимание уделено доказательству секвенциальной достаточности множества решений характеристического уравнения оператора обобщенной свертки. В обобщенном пространстве Баргмана-Фока сопряженным оператором к оператору умножения на переменную $z$ является оператор обобщенного дифференцирования. С помощью этого оператора вводятся операторы обобщенного сдвига и обобщенной свертки. С применением цепочки эквивалентных утверждений получено, что кратная интерполяционная задача Валле Пуссена разрешима тогда и только тогда, когда сюръективна композиция оператора обобщенной свертки с умножением на фиксированную целую функцию $\psi(z)$. Нули функции $\psi(z)$ являются узлами интерполяции. Сюръективность композиции оператора обобщенной свертки с умножением сводится к доказательству секвенциальной достаточности множества нулей характеристической функции оператора обобщенной свертки в множестве решений обобщенного оператора свертки с характеристической функцией $\psi(z)$. При доказательстве секвенциальной достаточности возникла необходимость рассмотрения отношений собственной функции при различных значениях $\mu_i$. Собственные функции с большим значением $\mu_i$ уходят на бесконечность быстрее, нежели собственные функции с меньшим значением при $z$, стремящимся к бесконечности. При одинаковых значениях $\mu_i$ производная собственной функции большего порядка уходит на бесконечность быстрее, чем производная меньших порядков. Существенную роль играет тот факт, что ядро оператора обобщенной свертки с характеристической функцией $\psi(z)$ представляет конечную сумму собственных функций и ее производных. С использованием разложения Фишера, теоремы Дьедонне-Шварца и теоремы Майкла о существовании непрерывного правого обратного получено, что если нули характеристической функции оператора обобщенной свертки расположены на положительной вещественной оси в порядке возрастания, то кратная интерполяционная задача Валле Пуссена разрешима в узлах интерполяции.