О задаче Дирихле для эллиптического уравнения

Abstract

Хорошо известно, что естественно возникающее из вариационных принципов и удобное в применении понятие обобщeнного решения из соболевского пространства $W_2^1$ задачи Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка не является в буквальном смысле обобщением понятия классического решения: не любая непрерывная на границе области функция является следом функции из $W_2^1$. Обобщение обоих этих понятий было предложено в 1976 году Валентином Петровичем Михайловым, памяти которого посвящена настоящая работа. В определении Михайлова граничное значение решения берется из $L_2$; естественно обобщается это понятие и на случай граничной функции из $L_p$, $p > 1$. Впоследствии автором настоящей работы было доказано, что при выполнении не слишком обременительных условий такие решения обладают свойством $(n-1)$-мерной непрерывности. Это свойство аналогично классическому определению равномерной непрерывности, но вместо значения функции в точке следует рассматривать еe следы на мерах из специального класса, немного более узкого, чем класс мер Карлесона. След функции на мере является элементом пространства $L_p$ по этой мере. $(n-1)$-мерная непрерывность означает, что следы на мерах близки, если близки эти меры. Определение близости мер учитывает близость (в специальном смысле) их носителей, а расстояние между следами (они элементы различных пространств) вводится с помощью погружения в пространство функций удвоенного числа переменных. Свойство $(n-1)$-мерной непрерывности позволило дать другое, по форме весьма близкое к классическому определение решения - $(n-1)$-мерно непрерывное решение. Как и понятия классического и обобщeнного решений оно не требует условий гладкости границы рассматриваемой области. В отличие от случаев классического и обобщeнного решений задача Дирихле в постановке Михайлова и тем более с $(n-1)$-мерно непрерывным решением исследована недостаточно полно. Прежде всего это относится к условиям на правую часть уравнения, при которых задача Дирихле разрешима. В работе приведeн ряд новых результатов в этом направлении. Кроме того, обсуждаются условия на коэффициенты уравнения, границу ограниченной области, в которой рассматривается задача, и заданные граничные значения решений. При этом результаты о разрешимости и о граничном поведении решений сравниваются с аналогичными теоремами, относящимися к случаю классического и обобщeнного решений, обсуждаются некоторые возникающие при таком сравнении нерешeнные задачи.