Le calcul fonctionnel dans l’espace de Besov critique

Abstract

Si F F une fonction de la variable complexe qui opère, par composition à gauche, sur l’espace de Besov B p s , q ( R n ) B_p^{s,q}({\mathbb {R}^n}) ou sur l’espace de Triebel-Lizorkin F p s , q ( R n ) F_p^{s,q}({\mathbb {R}^n}) , où 0 > s > 1 , s = n / p , 1 ≤ q ≤ + ∞ ( q > 1 0 > s > 1,s = n/p,1 \leq q \leq + \infty (q > 1 , dans le cas de l’espace de Besov), alors F F est globalement lipschitzienne. Ce résultat achève la description du calcul fonctionnel dans B p s , q ( R n ) B_p^{s,q}({\mathbb {R}^n}) et dans F p s , q ( R n ) F_p^{s,q}({\mathbb {R}^n}) , pour 0 > s > 1 0 > s > 1 . Let F F be a complex variable function which acts, via left composition, on the Besov space B p s , q ( R n ) B_p^{s,q}({\mathbb {R}^n}) or the Triebel-Lizorkin space F p s , q ( R n ) F_p^{s,q}({\mathbb {R}^n}) , where 0 > s > 1 , s = n / p , 1 ≤ q ≤ + ∞ ( q > 1 0 > s > 1,s = n/p,1 \leq q \leq + \infty (q > 1 , in the Besov case); then F F is globally lipschitz. This theorem—added to previous results on the noncritical case—provides a complete characterization of the functional calculus on B p s , q ( R n ) B_p^{s,q}({\mathbb {R}^n}) and F p s , q ( R n ) F_p^{s,q}({\mathbb {R}^n}) , for 0 > s > 1 0 > s > 1 .