In 1958, T. Kato proved that a closed semi-Fredholm operator
A
A
in a Banach space can be written
A
=
A
1
⊕
A
0
A=A_1\oplus A_0
where
A
0
A_0
is a nilpotent operator and
A
1
A_1
is a regular one. J. P. Labrousse studied and characterised this class of operators in the case of Hilbert spaces. He also defined a new spectrum named “essential quasi-Fredholm spectrum” and denoted
σ
e
(
A
)
\sigma _e(A)
. In this paper we prove that the essential quasi-Fredholm spectrum defined by J. P. Labrousse satisfies the mapping spectral theorem, i.e.: If
A
A
is a bounded operator in a Hilbert space and
f
f
an analytic function in a neighbourhood of the spectrum
σ
(
A
)
\sigma (A)
of
A
A
, then
f
(
σ
e
(
A
)
)
=
σ
e
(
f
(
A
)
)
f(\sigma _e(A)) =\sigma _e(f(A))
.
Résumé. En 1958, T. Kato a montré que si
A
A
est un opérateur fermé dans un espace de Banach et semi-Fredholm, alors il existe
A
1
,
A
0
A_1,A_0
tels que
A
=
A
1
⊕
A
0
A=A_1\oplus A_0
où
A
0
A_0
est nilpotent et
A
1
A_1
est régulier. J. P. Labrousse a étudié et caractérisé cette classe d’opérateurs dans le cadre des espaces de Hilbert et a défini un nouveau spectre qu’on appelle “spectre essentiel quasi-Fredholm” et noté par
σ
e
(
A
)
\sigma _e(A)
. Dans ce travail nous allons démontrer que le spectre essentiel quasi-Fred- holm défini par J. P. Labrousse vérifie le théorème de l’application spectrale, c’est à dire: Si
A
A
est un opérateur bourné d’un espace de Hilbert dans lui même et
f
f
une fonction analytique au voisinage du spectre
σ
(
A
)
\sigma (A)
de
A
A
, alors
f
(
σ
e
(
A
)
)
=
σ
e
(
f
(
A
)
)
f(\sigma _e(A))=\sigma _e(f(A))
.