On approximation of a periodic solution of the phase field crystal equation in simulations by the finite elements method

Abstract

В работе рассматривается математическая модель кристаллического фазового поля (КФП), описывающая эволюцию микроструктуры вещества во время процесса кристаллизации. Такая модель представлена нелинейным дифференциальным уравнением шестого порядка по пространству и второго по времени, для решения которого в последние годы были разработаны конечно-элементные алгоритмы, гарантирующие безусловную устойчивость и второй порядок сходимости. Однако, в силу периодического характера решения задачи КФП, точность аппроксимации решения может существенно меняться при изменении параметров дискретизации расчитываемой системы. Принимая во внимание высокую вычислительную сложность задачи КФП в трехмерной постановке, актуальным практическим вопросом становится определение критериев дискретизации. В настоящей статье исследуется влияние размеров конечного элемента на аппроксимацию решения задачи КФП для случаев плоского и сферического фронта кристаллизации. Показано, что превышение определенных размеров конечного элемента приводит к существенным качественным и количественным изменениям численного решения и, как следствие, резкому снижению точности аппроксимации.